商业澳洲 文章 对数的本质是把乘除法降维成加减法

对数的本质是把乘除法降维成加减法

最近看到这样一句话:“对数的本质就是降维,把乘法除法转化为加法和减法。” 出于好奇,整理了本篇文章。

对数和指数的概念

对数

在最简单的层面,对数解答以下问题:

多少个既定的数相乘会等于另一个数? 

例子:多少个 2 相乘会等于 8?

答案:2 × 2 × 2 = 8,所以需要把 3 个 2 相乘来得到 8 ,所以对数是 3 。

我们这样书写”3个2相乘的积为8″:

相乘的数叫 “底”,而对数的符号是 “log”,所以我们可以说:

  • 8的以2为底的对数是 3
  • 8的log(以2为底)是 3
  • 8以2为底的log是 3

请留意,这牵涉到三种数:

  • 底:相乘的数(在以上的例子的 “2”)
  • 多少个底相乘(3个,这就是 对数)
  • 相乘起来的积(在以上的例子的 “8”)

指数

指数与对数是有关联的。

指数的意思是用多少个数和自己相乘。 


上图的3在不同的场景分别叫 指数 和 对数。

经典案例:澳大利亚兔子问题

历史背景和发展过程:

澳大利亚的兔子泛滥问题始于19世纪。1859年,一位名为Thomas Austin的英国移民为了打猎娱乐,将24只兔子带到了澳大利亚。在澳大利亚,这些兔子发现了丰富的食物和缺乏天敌的环境,他们的数量开始指数级增长。


一群穴兔围着水坑喝水,摄于1938年

到了1900年,兔子的数量估计已经超过了6亿,导致土地受到严重的侵蚀。兔子吃掉了许多植被,导致土地裸露,这使得土壤侵蚀变得更加严重。为了控制兔子的数量,人们尝试了许多方法,包括建立兔子围栏、使用生物控制方法(如放生疾病)等。


在防兔围栏旁徘徊的兔群

1950年,澳洲的兔子有6亿只之多,为了治理兔灾,人们有针对性地释放了粘液瘤病毒。这是一种专门感染兔子的可怕病毒,死亡率极高,很快导致兔子数量下降到不到1亿只。

这种方法在一开始非常有效,但随着时间的推移,部分兔子对这种病毒产生了抗性,导致它们的数量再次增加。1970年,澳洲兔子数量恢复到2亿只,1990年又恢复到3亿只。人们又先后投放了毒性更强的杯状病毒和K5病毒,兔子数量始终维持在2亿只左右。


释放粘液瘤病毒后,澳洲穴兔种群变化

现在人们已经意识到,靠病毒消灭兔子是不可能的。

指数和对数的计算

对于指数增长,假设每一对兔子每月繁殖一次,并且每次繁殖都会产生一对新的兔子。如果没有其他因素的限制(如食物、疾病等),兔子的数量将呈现指数增长。

这个数字是非常庞大的,它清楚地展示了指数增长的力量。这也是为什么兔子在澳大利亚能够如此迅速地泛滥成灾。当然,实际情况中,各种因素如食物短缺、疾病等都会限制兔子的增长,但这个简化的模型可以帮助我们理解指数增长的本质。

对数的本质就是降维,把乘法除法转化为加法和减法。

对数确实有降维的概念,我们可以使用以下的基本对数性质来展示这一点:

这些性质的应用,在数据处理,尤其是处理指数增长或者复利问题时,非常有用。

以下是一些例子:

简单的乘法变加法:

假设我们有一个乘法问题:10000 * 10000。

如果我们转换为对数,这个问题可以变为:
log(10000) + log(10000),这相当于4 + 4 = 8

然后通过指数运算将其转回来:10^8 = 100,000,000,结果与原乘法操作的结果相同。

更复杂的我们可以通过查对数表获得

例如,为了计算两个数x和y的乘积,只要查对数表,找到logb(x)和logb(y)的值,把二者相加,得到logb(x)+logb(y),然后查对数表即可得到xy。

常用对数表看 https://baike.baidu.com/item/对数表/4865484

计算复利:

复利的计算涉及到连续复合的过程,每一期的收益都基于前一期的本金加收益来计算。这样的计算过程可以用指数方程来很好地描述。

对数产生的背景

对数产生前夕面临的挑战

计算的复杂性:在纳皮尔和布里格斯的时代,没有计算机和计算器,所有的计算都是手工进行的。因此,乘法和除法运算非常耗时且容易出错。

航海和天文学的需求:当时的航海和天文观测需要大量的复杂计算,对数的引入显著减少了这些计算的难度和时间。

航海领域的例子

在17世纪的航海时代,有一个核心的导航问题尚未完美解决,那就是如何确定船只在东西方向上的位置,即其经度。这个问题在18世纪才真正解决,其中一部分是由于数学进展和对数的应用。

首先,明确一个基础知识:地球每天自转一周,即24小时。如果我们能够精确知道当地时间和一个参考地点(如格林威治)的时间,那么我们就可以用时间差计算出经度。例如,每小时的时间差对应15度的经度差异。

为了实现这一目的,船长需要两只表:一只设定为格林威治的时间(即参考时钟),另一只显示当地的太阳时间。通过观察太阳达到最高点的时间,可以得到当地的正午时间。

但要精确测量和计算时间差,并将其转化为经度,就需要对数的帮助。在17和18世纪,对数被广泛用于简化复杂的乘法和除法运算,因为这样的运算对于航海图和天文观测来说是十分常见的。

假设我们得到的时间差是1小时15分钟,这等于1.25小时。要知道这时间差对应的经度差异,就需要乘以每小时对应的经度差(15度)。使用对数:

查找1.25的对数。
查找15的对数。
将这两个对数相加。
找到与此和相对应的数字。
这个数字就是两地的经度差。

总之,对数为船长提供了一种简化复杂乘法和除法的方法,使得在无计算器的时代也能进行快速的计算,从而确定他们的经度位置。然而,这种方法的准确性仍然依赖于一个精确的海上时钟,这个问题最终在18世纪由约翰·哈里森的海上计时器得到解决。

天文领域的例子

星等的计算,这是一个天文学中使用对数的经典例子。

星等系统是天文学家用来描述星空中天体的亮度的一种方法。一个星体的星等数越小,它看起来就越亮。这个系统的历史可以追溯到古希腊,当时的天文学家把看起来最亮的星星分类为第一等星,看起来稍微暗一点的星星分类为第二等星,以此类推。

在数学上,两个天体的亮度之差是它们的星等差,其与它们的亮度比例有关。这个关系可以用对数来表示。

公式如下:

举例:
假设我们观察到两颗星,星1的亮度是星2的100倍。我们想知道这两颗星的星等差是多少。

使用上面的公式:

这意味着星1比星2亮5个星等。根据我们前面提到的,这意味着星1看起来会比星2亮得多。

对数在天文学中非常有用,因为天空中的天体亮度差异很大,使用对数可以帮助我们用更简洁的方式表示这些大的差异。

对数产生的过程

John Napier(1550-1617)是莫奇斯顿城堡(Merchiston Castle)的第八代领主,也是对数的发明。

据说,在他生活的年代,哥白尼刚刚提出日心说,正是天文学发展的萌芽阶段,此时的研究要碰到大量的繁琐运算,如此一来,会耗费天文学家大量的精力和时间。因而,简化大数的乘、除、乘方和开方的运算,就成为当时迫切需要解决的问题。

这便是约翰·纳泊尔发明对数的动机。

Napier的想法是利用一个数的增长速率。他考虑了一个数字在某种规则下持续递减,而另一个数字在同样的规则下持续递增的情况。经过一段时间,这两个数字之间的比率会发生什么变化?他发现,这两个数字的比率变化可以用来简化乘法和除法。

对数方法的首次公开出版是在1614年,书名为《关于数字的奇妙对数的描述》(”Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”),这部著作标志着对数的正式引入。


Napier 1614 年三角函数对数表的扉页

该书的发表引起了另一位数学家亨利·布里格斯(Henry Briggs,1561 – 1630)的极大兴趣。1616年他去拜访 Napier,建议将对数改良至以十为基底的对数表以方便使用,这就是后来常用的对数了。 Napier 本人也考虑过这个问题,遗憾的是,他不久后(1617年春天)便去世了。于是,Briggs 竭尽毕生精力完成了改良工作,以10为底列出一个很详细的对数表。 以10为底的对数,这一概念逐渐成为了对数学中的主流。

计算尺

计算尺(滑尺)是一种基于对数的原理来进行乘法和除法运算的工具。对数将复杂的乘法和除法问题转化为更简单的加法和减法问题,这使得计算尺的设计成为可能。

1630年,英国数学家威廉·奥特雷德用圆形刻度绘制出了第一个计算尺。1632年,他修改了这一设计,将两个尺子改为直的。这是第一个计算尺。这个想法很简单:当你把两根杆子首尾相接时,它们的长度相加。如果杆子用对数刻度标记,在对数刻度上数字是按照它们的对数间隔的,那么相应的数字相乘。

例如,把一个杆上的1与另一个杆上的2放在一起。对于第一个杆上的任意x,我们发现第二个杆上是2x。所以相对于3,我们找到6,以此类推。如果数字更复杂,比如2.67和3.51,我们放置一个相对位置2.67,然后读出相对位置3.59的任何东西,即9.37。这很简单。

自然对数

自然对数(底为e)的概念则是在纳皮尔之后由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在18世纪进一步发展的。

欧拉是第一个发现并证明这个神奇的数(即自然对数的底数e)存在的人,e大约等于2.71828。

自然对数产生的背景如下:

微积分的发展

微积分是研究变化的数学,涉及导数和积分。当数学家们试图寻找各种函数的导数时,他们注意到某些指数函数具有独特的性质。特别是,他们寻找一个函数,它的导数与原函数相同。这样的函数具有形式 a^x ,其中 a 是某个特定的常数。经过研究,这个常数被确定为 e,约等于 2.71828。

复利的增长

在经济学中,当资本按照连续复利增长时,增长率可以用自然对数和
e 来描述。例如,如果一笔资金每年增加一定的百分比,并且这个增加是连续的(而不是每年末或每年初),那么增长过程可以用 e 的函数来表示。

自然现象的描述

许多自然过程的数学模型都涉及到指数增长或衰减。例如,在生物学中,某些生物种群的增长可以用指数模型描述;在物理学中,放射性衰变也遵循指数衰减的规律。这些过程的数学模型通常与自然对数和 e 有关。

自然对数在许多科学和工程领域中都有应用,包括物理学、化学、生物学、经济学和工程学。

解微分方程

在物理学、工程学和其他应用数学领域,微分方程是一个重要的工具,用于描述各种自然现象。数 e 和自然对数在许多重要的微分方程的解中都起到关键作用。

引入自然对数的需要主要是为了解决上述的挑战和问题。它为我们提供了一个强大的工具,帮助我们理解、描述和预测许多自然和社会现象。

总结

对数是数学中的一种基本概念,其本质是将指数运算降维为基本的算术运算。在对数运算中,乘法被转化为加法,除法被转化为减法。这种转化简化了复杂计算,是对数在历史上受到广泛应用的原因之一。

原文链接:https://www.cnblogs.com/ghj1976/p/dui-shu-de-ben-zhi-shi-ba-cheng-chu-fa-jiang-wei-c.html

作者: 知澳头条

知澳资深作者

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